Faltung (Mathematik)

In der Analysis, einem Teilbereich der Mathematik, beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lateinisch convolvere „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ eine dritte Funktion ${\displaystyle f\ast g}$ liefert.

Anschaulich bedeutet die Faltung ${\displaystyle f\ast g}$, dass jeder Wert von ${\displaystyle f}$ durch das mit ${\displaystyle g}$ gewichtete Mittel der ihn umgebenden Werte ersetzt wird. Genauer wird für den Mittelwert ${\displaystyle (f\ast g)(x)}$ der Funktionswert ${\displaystyle f(\tau )}$ mit ${\displaystyle g(x-\tau )}$ gewichtet. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen ${\displaystyle f}$ und gespiegelten und verschobenen Versionen von ${\displaystyle g}$ (man spricht auch von einer „Verschmierung“ von ${\displaystyle f}$) kann z. B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Die Kreuzkorrelationsfunktion ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung ${\displaystyle {\overline {f(-\tau )}}}$. Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.^[1]

1. ↑ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio und Aaron Courville: Deep Learning. Hrsg.: MIT Press. S. 329 (deeplearningbook.org).